Діагональ бічної грані правильної трикутної призми утворює з основою кут 60 градусів . знайти обєм призми , якщо площа бічної поверхні призми 36корінь 3 см

а -высота δ

в -сторона основания

а*в=36√3

а/sin60=в/cos60  ⇒2а/√3=2в    ⇒в=а/√3

а*а/√3=36√3

а²=36

а=6

в=6√3

sδ=в²√3/4=27√3

v=as=6*27√3=162√3 см³

Пускай ав - большее основание, дс - меньшее < a = 33 градусов < b = 57  градусов дальше из точки n параллельно боковым сторонам трапеции проводим прямые nk   и  nt (nk ll ad,   nt ll cb)  тогда < a = < nkm = 33  градусов           < b = < ntm = 57  градусов < knt = 180 - < nkm - < ntm = 90 => тр. кnт -прямоугольный adnk, ncbt - параллелограммы;   m и n середины оснований ab и cd    => dn = ak = nc = tb = dc/2 = 3/2 = 1,5 раз m - середина  ab, a ak = tb, то m - середина kt => nm - медиана тр.knt => => nm = kt/2 =  = (ab - ak - tb)/2 = (7 - 1,5 - 1,5)/2 = 2

Из треугольника amn   можно вычислить, что угол а= 30 (180-60-90=30), тогда катет, который лежит напротив угла 30 град. = половине гипотенузы, то  есть mn=1/2 an, an=2mn=2*6=12. так как n  середина ab, то ab  =  24. из треугольника amn tg 60=am/mn. am=tg60*mn=6sqrt3 (sqrt-корень) так как м - середина ас, то ас = 12sqrt3. рассмотрим треугольник авс. угол а=30, значит противоположный катет св=половине гипотенузы. cb=1/2ab=12.  рассмотрим треугольник bcm. cm=6sqrt3, cb=12, c=90  градусов. по теореме пифагора мв=6sqrt7. площадь прямоугольного треугольника = 1/2  произведение катетов. s(треугольника amn)=1/2*6sqrt3*6=18sqrt3