Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если а5 + а8 = 32 и а4 + а12 = 44.

an = a1 + (n-1)d                

a1 + 3d + a1 + 11d = 44

2a1 + 14d = 44

2(a1 + 7d) = 44

a1 + 7d = 22

a8 = a1 + 7d

a8 = 22

a5 = a1 + 4d

a8 = a1 + 7d

1) a5 + a8 = 2a1 + 11d = 32

2) a4 + a12 = 2a1 + 14d = 44

вычитаем из второго первое

2a1 + 14d - 2a1 - 11d = 12

3d = 12

d = 4

a5 + a8 = 32

a1 + 4d + 22 = 32

a1 + 16 + 22 = 32

a1 = 32 - 22 - 16 = -6

Sqrt(x+1) + 1 = sqrt((x-1)/x) возведем в квадрат: x+1+1+2*sqrt(x+1) = (x-1)/x x+2+2*sqrt(x+1) = 1 - 1/x x+1+2*sqrt(x+1) = - 1/x 2*sqrt(x+1)  = -1/x - x - 1 снова возведем в квадрат: 4*(x+1) = (-1/x - x - 1)^2 4x + 4 = (1/x + x + 1)^2 4x + 4 = 1/x/x + x*x + 1 + 2 + 2/x + 2x 2x + 1 = 1/x/x + x*x + 2/x 2x + 1 - 1/x/x - x*x - 2/x = 0 умножим все на x^2: 2x^3 + x^2 - 1 - x^4 - 2x = 0 x^4 -2x^3 - x^2 + 2x + 1  = 0 так как x=0 не является корнем уравнения, поделим его на x^2: x^2 + 1/x^2 - 1 + 2/x - 2x = 0 (1/x - x)*(1/x - x) + 1 + 2/x - 2x = 0 введем переменную t = 1/x - x t*t + 1 + 2*t = 0 t*t + 2*t + 1 = 0 d=4-4 = 0 t = -2/2 = -1 таким образом: 1/x - x = -1 1-x*x = -x x*x - x - 1 = 0 d = 1+4 = 5 x1,2 = (1+-sqrt(5))/2 теперь выполним подстановку в исходное уравнение и увидим, что подходит только один корень: x = (1-sqrt(5))/2 ответ правильный, проверено в программе graph. замечание: некоторые требуют выполнить проверку без калькулятора и программ : ) заметим, что в этой x = -(золотое сечение). как известно, (золотое сечение) = 1 - 1/(золотое сечение). поэтому: (x-1)/x = 2-x => sqrt(x+1) - sqrt((x-1)/x) = sqrt(x+1) - sqrt(2-x) = -1; sqrt(x+1) + 1 = sqrt(2-x); возведем в квадрат: x + 1 + 1 + 2*sqrt(x+1) = 2 - x; 2x + 2*sqrt(x+1) = 0; x + sqrt(x+1) = 0; x = -sqrt(x+1); заметим, что x отрицателен. возведем в квадрат x*x = x + 1; x*x - x - 1 = 0; решим его и найдем, что x = (1-sqrt(5))/2. следовательно, x=(1-sqrt(5))/2 - корень исходного уравнения.

Пусть х - скорость лодки в стоячей воде, y - скорость течения. запишем условие в таблицу:                             скорость                время                расстояние по теч.                  x + y                        2,5                    2,5(x + y) против теч.            x - y                          3                      3(x - y) по теч.                  x + y                          5                      5(x + y) против теч            x - y                            4                      4(x - y) 2,5(x + y) + 3(x - y) = 98 5(x + y) - 4(x - y) = 36              это система уравнений 5,5x - 0,5y = 98 x + 9y = 36 11x - y = 196 -11x - 99y = -396 100y = 200 x + 9y = 36 y = 2 x = 18