3x+7y делится на 19. доказать, что 43x+75y тоже делится на 19

43x+75y-(19x+19y)=24x+56y=8(3x+7y) 8(3x+7y)+19(x+y) первая делится на 19 и второе делится на 19 итого сумма тоже делится на 19

43х+75у = 19х+19у+8(3х+7у) типо чтд)

Sinxsiny = 0,75 sinxsiny/cosxcosy = 3,  ⇒ 0,75/cosxcosy = 3,  ⇒cosxcosy = 0,25 наша система примет вид: sinxsiny =0,75 cosxcosy = 0,25 сложим почленно.получим cos(x - y) =1,  ⇒ x - y = 2πk , k  ∈z а если вычесть, то получим: cos(x + y)=-0,5 ,  ⇒ x + y = +-2π/3 + 3πn , n  ∈z теперь: x - y = 2πk , k  ∈z x + y = +-2π/3 + 2πn , n  ∈z   после сложения получим:   2х = +-2π/3 + 2πm, m  ∈z x = +-π/3 +  πm, m  ∈zx - y = 2πk , k  ∈z x + y = +-2π/3 + 2πn , n  ∈z теперь вычтем из 2-го 1-е получим: 2у = +-2π/3 + 2πр, р  ∈z y = +- π/3 +  πp, p ∈z

(2cos4x -cos2x)²   =9 +  cos²5x  ; очевидно:     (2cos4x -cos2x)²    ≤  9     и    9 +  cos²5x   ≥    9   .  если уравнение имеет  решение,то  одновременно  должны выполнятся    (2cos4x -cos2x)²    =    9 и   9 +  cos²5x =    9  ⇔ {  (2cos4x -cos2x)²    =  9 ;   cos5x =0. нужно найти решения   этой  системы. (2cos4x -cos2x)²  =  9   ⇔  2cos4x -cos2x  = ± 3⇔  2(2cos²2x -1) -  cos2x  =  ± 3⇔  2(2cos²2x   - 1) -  cos2x  =  ± 3  ⇔    4cos²2x   -   cos2x -  2  =  ± 3 . a)   4cos²2x   -   cos2x -2  =    -   3 ;   4cos²2x   -  cos2x+1 =0   квадратное уравнение относительно  cos2x =t   d =1² -4*4*1 = -15 < 0  ⇒  не имеет решения  b)2cos4x -  cos2x  =    3 ; * * *  cos4x =1  и  cos2x = -1⇔2cos²2x -1 =1и  cos2x = -1* *   4cos²2x   -   cos2x -2  =  3 ;   4cos²2x   -  cos2x  -  5 =0  ;   d =1²    + 4*4*(-5) =81 =9² cos2x =(1 +9)/8 =5/4 > 0  ⇒  x    ∈  ∅ ; cos2x =(1 -9)/8 =  - 1  ⇒  2x =  π +2πm ,  m∈z  ⇔  x =  π  /2 +πm , m∈z. одновременно с  этим (необходимо и достаточно)   cos5x =0⇒  5x =π/2 +π*n , n  ∈z ⇔ x =  π/10+(π/5)*n . {  x =  π  /2 +πm ,  x =  π/10+(π/5)*n ,   m  , n  ∈  z.   π  /2 +πm =  π/10+(π/5) *n  ; 10 +20m = 2 +4n   ; n =4 +5m . * * *  серия решений  x =  π/10+(π/5)*n      содержит решения x=π  /2 +πm.* * *   ответ :   x =  π/10+(π/5)*n ,  n ∈z.