При каком действительном значении а, сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей? x^2+(a+1)x+3a-7=0

Замечаем, что наше уравнение является квадратным. прежде всего, что необходимо для выполнения условия ? правильно, само наличие двух корней(ведь прежде чем квадраты корней складывать, необходимо, чтобы было, что складывать). квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант положителен. ищем d: d = (a+1)^2 - 4(3a-7) = a^2 + 2a + 1 - 12a + 28 = a^2 - 10a + 29 > 0 замечаем, что дискриминант левой части неравенства d1 = 100 - 4 * 29 < 0. это значит, что d > 0 всегда, при всех a.(ведь условие d1 < 0 обеспечивает то, что левая часть неравенства не имеет корней, не имеет пересечений с осью ox, а поскольку коэффициент при a^2 положителен, корни параболы направлены вверх - парабола целиком над осью ox, то есть, положительна всегда) итак, два различных корня уравнение имеет всегда. осталось разобраться с суммой квадратов. выражу её для наших целей через сумму и произведение корней(тогда будет хороший шанс применить теорему виета). мы знаем, что (x1 + x2)^2 = x1^2 + x2^2 + 2x1x2. отсюда x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 по теореме виета: x1 + x2 = -(a+1), x1x2 = 3a-7 подставляем их в выражение для суммы квадратов: x1^2 + x2^2 = (a+1)^2 - 2(3a-7) = a^2 + 2a + 1 - 6a + 14 = a^2 - 4a + 15 ну и теперь осталось ответить на вопрос, когда же значение трёхчлена a^2 - 4a + 15 будет минимальным. это легко сделать. учитывая, что минимальное значение достигается в абсциссе вершины параболы. находим её: a0 = -b/2a = 4/2 = 2 при a = 2 трёхчлен квадратный принимает наименьшее значение, а значит, и сумма квадратов корней тоже.  решена. ответ: 2

итак, окончательно мы решили, что n и m - целые числа. проделаем 2018 операций следующего вида: возводим равенство в квадрат и переносим n вправо. получаем равенство

справа стоит целое число, n является его квадратом. для нас важно только, что для некоторого целого неотрицательного числа.   перенося n налево и заменяя на k, получаем равенство вида

1-й случай. k=0; n=0; m=0. автор про этот случай знает.

2-й случай. k> 0. докажем, что произведение двух соседних натуральных чисел не может быть полным квадратом. k=1; k+1=2, произведение равно 2 - это не есть полный квадрат. k=2; k+1=3; произведение равно 6 - это не есть полный квадрат. почему ни при каком натуральном k произведение не может быть полным квадратом? дело в том, что у соседних натуральных чисел не может быть общих множителей, кроме 1. поэтому, если их произведение является полным квадратом, каждое из этих чисел должно быть полным квадратом, чего быть не может быть - единственный случай, когда расстояние между квадратами целых неотрицательных чисел равно 1 - это 0 и 1, а этот случай мы уже рассмотрели.

ответ: n=m=0

произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

нет действительных корней

ответ:

произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

ответ: