Петя ушёл в школу между восемью и девятью часами, когда стрелки его часов были совмещены. из школы он возвратился между двумя и тремя часами дня, при этом стрелки его часов были направлены в прямо противоположные стороны. сколько времени отсутствовал петя дома?

Если обе стрелки часов будут между 8-9  часами, то по прикидке будет 8:45.
Если точное время рассчитать до минуты:

1) 360:60=6° проходит минутная стрелка за 1 минуту

2) 360:12:60=0,5° проходит часовая стрелка за 1 минуту

Если рассмотреть угол, который пройдут стрелки с 8 часов. Пусть этот угол равен х°, значит угол который минутная стрелка 6х, а часовая за это время. Поскольку мы находим положение минутной стрелки,то найдем сразу какой угол был между часовой и минутной стрелки в 8:00 (8*360:12=240°).  Поскольку часовая и минутная стрелка совпали, то они одинаковое количество градусов.

6х=0,5х+240

6-0,5х=240

5,5х=240

х=240:5,5=480/11=43  7/11 минуты

Значит Петя ушел в школу, когда время на часах было 8 часов 43 7/11 минуты.

Следующее условие Петя пришел, когда стрелки на часах были в противоположных направлениях, значит угол между ними был 180°. Следовательно минутная стрелка была на 9 часах, или 45 минутах.
По приблизительной прикидки:  2 ч 45 минут.

Если считать время точно:

По аналогии с предыдущими расчетами.

Найдем для начала угол который был в 2 часа дня между часами:

2*360:12=60° начальный угол между стрелками. 

Часовая стрелка х, а минутная стрелка 6х, с учетом конечного положения стрелок 180°.

60°+0,5х=6х-180°

6х-0,5х=180+60

5,5х=240

х=240:5,5

х=43 7/11 минуты

Значит Петя пришел домой в 2 ч 43 7/11 минуты дня, или 14 ч 43 7/11 минуты.

14 ч 43 7/11 мин - 8 ч 43 7/11 минуты =6 ч отсутствовал Петя дома

ответ 6 часов

По грубой прикидки:

14 ч 45 мин-8ч 45 мин=6 ч разница.

1)  система:  X+2-X^2>=0     
                    X^3+1>0  
а)X+2-X^2>=0 
 D=1+8=9
X=(1-3)/(-2)=1
X=(1+3)/(-2)=(-2)
X принадлежит (минус бесконечность; -2]и[1; плюс бесконечность)  
б)X^3+1>0
x^3>(-1)
x>(-1)
общее решение системы  X принадлежит[1; плюс бесконечность)
2)   система: X+2-X^2<=0     
                    X^3+1<0  
а)X^2-X^2<=0
X=1
X=(-2)
X принадлежит [-2; 1]
б)X^3+1<0
X^3<(-1)
X<(-1)
общее решение системы X принадлежит [-2; -1)

Решение всего неравенства: X принадлежит [-2; -1) и [1; плюс бесконечность)
ответ: : X принадлежит [-2; -1) и [1; плюс бесконечность)

1. Разложим cos 4x по формуле 2-г угла получим
cos 4x =  1 - 2 sin^2 2x 
2.Свернем 26 sin x cos x по формуле 2-го угла для sin и получим 
13 sin 2x
3.Теперь наше уравнение выглядит как
13 sin 2x - (1 - 2 sin^2 2x) + 7 = 13 sin 2x - 1 + 2 sin^2 2x + 7 =  2 sin^2 2x + 13 sin 2x + 6 = 0
Делаем замену t = sin 2x  t^2 = sin^2 2x
4.Получаем квадратное уравнение 
2t^2 + 13t + 6 = 0
Находим корни 
t1 = -0.5
t2 = 6

так как sin 2x может быть только -0.5 считаем корень для этого значения

sin 2x = -1/2
2x = (-1^n) * arcsin(-1/2) + pin, n∈Z
2x = (-1^n+1) * arcsin(1/2) +  pin, n∈Z - здесь мы убрали минус из под arcsin

ответ : x = (-1^n+1) * pi/6 + pin/2, n∈Z
 
Надеюсь объяснил подробно!)