bristolhouse20151001
?>

Решите с составления уравнения. разность двух чисел равна 34, а разность их квадратов – 408. найдите эти числа. напишите выражение для нахождения площади поверхности куба, используя формулу s=6 a^{2} напишите выражение для нахождения объема куба, используя формулу v=a^{3} a=4x-5

Алгебра

Ответы

Kashtelyan Tamara847
Хи у числа
{x-y=34
{x²-y²=408⇒(x+y)(x-y)=408⇒x+y=12
прибавим
2x=46
x=23
y=23-34=-11

S=6(4x-5)²
V=(4x-5)³
simonovaliubov5852

Найти                                                                                                                       а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям  ;

б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с  постоянными коэффициентами .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

a)  y " + 8y ' + 7y  = 0  ;   y(0)  = 2  ; y '(0)  = 1 .

Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

k² + 8k +7  =0     D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3²   ;   √D₁ =3  

* * * очевидно  по т Виета  * * * k = - 1 корень  

k₁,₂ = - (8/2) ± 3

k₁   = -4 - 3 = - 7 ;

k₂ = - 4  + 3 = -1 .

Получены два различных действительных корня

Общее решение :  y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁  и  C₂ произвольные   константы (постоянные) .  

* * *  Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много  частных решений  * * *

Определим частное решение  удовлетворяющее заданным начальным условиям  :   y(0)  = 2 ,   y ' (0)  = 1 .

y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;

y '  =  ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)

y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) =  - 7C₁ - C₂    = 1 .

- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

{ C₁  +  C₂  = 2 ;      {-6C₁ = 2+1  ;       {C₁ = -0,5 ;                { C₁ = - 0,5 ;  

{ - 7C₁  -  C₂ =  1 .    { C₂ = - 7C₁  - 1.   {  C₂ =-7*(-0,5) -1 .    { C₂ = 2,5 .

*  *  *методом сложения  * * *

Подставим найденные значения   C₁ и C₂ в общее решение

ответ :   - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x)   частное решение  удовлетворяющее заданным начальным условиям.

- - - - - - -

б) y ' ' - 6y '  + 8y =  3e^ 4x

k² - 6k + 8   =0   ( характеристическое уравнение )

k₁   = 2 ;

k₂ =  4 .

y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x)  общее решение без правой части

Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части    у₁ =Axe^(4x) ,  у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)

8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x

2Ae^(4x) =3e^(4x )  ⇒  A =1,5   ;   y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)

y = y₀ + y₁  = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)

ответ :  C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

ay ' ' + by' + cy =0   ищем решение       y=  е^(kx)    ||   ^  → степень  ||

y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx)  ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .

a*k²*е^(kx)  + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;

е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ;        е^(kx) ≠ 0  ⇒

a*k² + b*k + c  = 0    ( характеристическое уравнение )

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *


Найти а)частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянн
afoninia
1) xy'+y=0
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
y'=- \dfrac{y}{x} - уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
\dfrac{dy}{dx} =- \dfrac{y}{x} \\ \\ \dfrac{dy}{y} =- \dfrac{dx}{x}
Интегрируя обе части уравнения, получаем
\ln|y|=\ln| \frac{1}{x} |+\ln C\\ \\ \ln|y|=\ln| \frac{C}{x}|
y= \dfrac{C}{x}- общее решение

(1-x^2) \frac{dx}{dy} +xy=0\\ \\ (1-x^2) \frac{dx}{dy} =-xy
Разделяем переменные
\dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydy

интегрируя обе части уравнения, получаем

-\ln|x|+ \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{y^2}{2} +C - общий интеграл

Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует

Пример 3. x^2+y^2-2xy\cdot y'=0
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
(\lambda x)^2+(\lambda y)^2-2\cdot\lambda x\cdot \lambda y\cdot y'=0 |:\lambda^2\\ \\ x^2+y^2-2xyy'=0

Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену 
y=ux, тогда y'=u'x+u

Подставляем в исходное уравнение

x^2+u^2x^2-2x\cdot ux(u'x+u)=0\\ \\ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\\ \\ x=0\\ \\ 1-u^2-2uu'x=0\\ \\ u'= \dfrac{1-u^2}{2ux}

Получили уравнение с разделяющимися переменными

Воспользуемся определением дифференциала

\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1-u^2}{2ux}

Разделяем переменные

\dfrac{du^2}{1-u^2} = \dfrac{dx}{x}

Интегрируя обе части уравнения, получаем

\ln\bigg| \dfrac{1}{1-u^2} \bigg|=\ln|Cx|

\dfrac{1}{1-u^2} =Cx

Обратная замена

\dfrac{x^2}{x^2-y^2} =Cx - общий интеграл

Пример 4. y''-4y'+4=0
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть y'=e^{kx}, тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:
k^2-4k+4=0\\ (k-2)^2=0\\ k_{1,2}=2

Тогда общее решение будет иметь вид:

y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x} - общее решение

Пример 5. y''+4y'-5y=0
Аналогично с примером 4)
Пусть y=e^{kx}, тогда получаем
k^2+4k-5=0\\ (k+2)^2-9=0\\ \\ k+2=\pm 3\\ k_1=1\\ k_2=-5

Общее решение: y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}

Найдем производную функции
y'=C_1e^x-5C_2e^{-5x}

Подставим начальные условия

\displaystyle \left \{ {{4=C_1+C_2} \atop {2=C_1-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1=4-C_2} \atop {2=4-C_2-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1= \frac{11}{3} } \atop {C_2=\frac{1}{3} }} \right.

y=\frac{11}{3} e^x+\frac{1}{3} e^{-5x} - частное решение

Ответить на вопрос

Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:

Решите с составления уравнения. разность двух чисел равна 34, а разность их квадратов – 408. найдите эти числа. напишите выражение для нахождения площади поверхности куба, используя формулу s=6 a^{2} напишите выражение для нахождения объема куба, используя формулу v=a^{3} a=4x-5
Ваше имя (никнейм)*
Email*
Комментарий*

Популярные вопросы в разделе

danceplusru
adhotel
Станиславович1830
Владимирович111
Ladyby6224
Daniil1945
Popova-Erikhovich
olgolegovnak
ludakamasana
sadinuraliev263
info49
clic1968420
turaev-1098
tretyakovamarina201155
ecogoi