1) два пешехода выходят навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км. если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то он встретит второго пешехода через 4, 5 ч после своего выхода. если второй выйдет на 2 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 5 ч после своего выхода. с какой скоростью идет каждый пешеход?

 

Пусть цифры x, y, z составляют искомое число 100x + 10y + z. пусть также цифры x, y, z образуют прогрессию со знаменателем q, т.е. y = x*q, z = x*q². когда из искомого числа вычли 200, то цифры y и z остались без изменения на своих местах, а первая цифра x уменьшилась на 2. значит, арифметическую прогрессиию составляют цифры: x - 2, y, z. пусть d - шаг арифметической прогрессии. тогда: первый член арифметической прогрессии (х-2), второй - (х - 2 + d), третий - (x - 2 + 2d). т.к. последние две цифры числа не изменились при вычитании 200, то можем приравнять: x*q = x + d - 2 x*q² = x + 2d - 2 используем характеристическое свойство прогрессии: т.к. шаг d д.б целым (цифры же целые), выражение под корнем 2x д.б. квадратом. это возможно только при двух значения х = 2 и х = 8. однако первая цифра числа не м.б. равна 2, т.к. при вычитании 200 получится двузначное число. остаётся, х = 8. первый шаг d = 6 не подходит, т.к. при таком шаге мы выйдем из множества цифр. остаётся, d = -2. для нахождения q и х используем систему уравнений, куда подставим найденное значение d = -2: итак, найдена первая цифра числа 8 и знаменатель прогрессии 1/2. значит, следующие цифры 4 и 2, а все число 842. проверяем. вычтем 200: 842 - 200 = 642. как видим, последовательность 6, 4, 2 образует арифметическую прогрессию с шагом минус 2. ответ: 842

Пусть x - скорость 1-ого рабочего, y - 2-го. тогда 7 дней работал первый и сделал 7x работы. потом присоединился 2-ой, их скорость стала (x + y), и работали они 8 дней, то есть 8(x + y). за это время они сделали всё работу, то есть 100% = 1. итого первое уравнение: 7x + 8(x + y) = 1 или 15x + 8y = 1 теперь вторая часть . первый рабочий сделал работу за 1/x дней, второй за 1/y дней. известно, что 1/y больше на 7 дней, чем 1/x. отсюда имеем 1/y - 7 = 1/x или 1/y - 1/x = 7 составим систему из этих двух уравнений: первая пара не подходит, так как x< 0. имеем x=1/21, y=1/28 1 : 1/21 = 21 день 1: 1/28 = 28 дней ответ: 1-й рабочий выполнит работу за 21 день, 20ой - за 28 дней.