Середины ребер ав, вс и dc тетраэдра abcd-точки m, n и p соответственно. постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эти точки.

1) параллелограмм авсд: ав||сд, вс||ад an⊥abc и kc⊥aвc т.к. если  прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (an⊥ac и кс⊥ас) плоскость квс⊥плоскости авс, т.к. плоскость квс проходит через прямую кс,  перпендикулярную к  авс (согласно теореме: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны). аналогично  плоскость anд⊥плоскости авс, т.к. плоскость  anд  проходит через  прямую  an,  перпендикулярную к  авс. т.к. плоскости    anд и квс, перпендикулярные к одной прямой ас, значит они  параллельны. 2) прямоугольный  δавс (∠в прямой) из точки s опустим перпендикуляр so  на плоскость авс. по условию  точка s равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника, значит  наклонные sa=sb=sc , а следовательно и их проекции на плоскость авс  оа=ов=ос. значит о - центр описанной окружности около  δавс.   т.к. в  прямоугольном треугольнике  центром описанной окружности  является середина гипотенузы м, то значит точки о и м , тогда    sm перпендикулярна плоскости авс

Пусть км  и  тр  основания  трапеции,  мо=1,5    от=3,  тогда 0 1)  рассмотрим  треуг ком  и  треуг  рот:   км  параллельна  тр,  значит  по  свойству  накрест  лежащих  углов  при  параллельных  прямых  и  секущих кр  и  мт  уголмок=уголкрт.  угол  кмо=уголмтр,  значит  треуг  ком  подобен  треуг рот  по  углам 2)  по  свойству  соответсвующих  сторон  подобных  треугольников  мо/от=км/рт=1,5/3=1/2,  значит км+рт=12,  км/рт=1/2            2*км=рт   км+рт=12          3*км=12  2*км=рт      км=4  рт=8 ответ  4  и  8