Втрапеции abcd с основаниями вс и ad центр описанной окружности лежит на основании ad. найдите радиус этой окружности, если ad=2bc и ab=2.

Трапеция авсд, ав=2, вс=х, ад=2х=диаметр, оа=од=радиус=диаметр/2=2х/2=х, ов=ос=радиус=х, треугольник овс равносторонний, ов=вс=ос=х, все углы=180/3=60,  авсо параллелограмм (ао=вс=х, ао параллельновс)уголсод=уголосв как внутренние разносторонние=60.,треугольник асд равнобедренный, од=ос=х, уголосд=уголд=(180-60)/2=60, треугольник осд равносторонний, од=сд=ос=х, овсд параллелограммс (од=вс=х, од параллельновс  ), уголаов=уголовс=60, все углы в треугольнике 60. треугольник равносторонний, оа=ов=ав=х, ав=2=х, вс=2, ад=4, ав=сд=2, радиус=2

точка д лежит на продолжении ав, биссектриса внешнего угла не может лежать на стороне треугольника.

треугольник авс уголс=180-угола-уголв=180-10-104=66, внешний угол с=180-66=114,

треугольник все равнобедренный вс=се, угол све=уголсев=(180-внешний уголс)/2=(180-114)/2=33,

угол две = 180-уголв-уголсве=180-104-33=43, сд для треугольника все = медиане=высоте= биссетрисе, для треугольника вде сд = медиане высоте - треугольник равнобедренный, вд=де , угол две=уголвед=43, угол вде = 180 - 2 х уголл две =

=180 - 2 х 43 = 94

я про такой треугольник много уже написал тут. ну, можно еще.

но сначала решение "для учителя".

центр окружности лежит на стороне 15 и равноудален от других сторон, то есть он совпадает с концом биссектрисы угла напротив стороны 15. поэтому он делит сторону 15 в отношении 13/14. длины этих отрезков 15*13/(13+14) = 65/9 и 15*14/(13 + 14) = 70/9;

площади треугольников, на которые делит треугольник биссектриса, равны 13*r/2 и 14*r/2, поскольку радиус окружности r играет в каждом из них роль высоты к известной стороне. сумма их равна s = 27*r/2;  

площадь треугольника s считается по формуле герона.

полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2   = 21;

p - 13 = 8; p - 14 = 7; p - 15 = 6;  

s^2 = 21*8*7*6 = (7*3*4)^2; s = 7*3*4 = 84;

получилось

27*r/2 = 84; r = 56/9;

 

теперь вот что. часто можно найти площадь треугольника, если заметить, что его длины сторон выражены целыми числами, присутствующими в пифагоровых тройках. или - что несколько сложнее - пропорциональны им. в данном случае присутствие чисел 13 (из тройки 5,12,13) и 15 (из "египетской" тройки 9, 12, 15, кратной 3,4,5) наводит на мысль, что треугольник составлен из двух пифагоровых. это действительно так - достаточно приставить друг к другу такие треугольники одинаковыми катетами 12, так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовали бы сторону 14.

это означает, что в треугольнике со сторонами 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12, и она делит сторону 14 на отрезки 5 и 9. (стоит ли упоминать, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам, других таких треугольников не бывает : ))

это простое наблюдение не требует сложных вычислений (записать это намного труднее, чем сообразить). в результате площадь треугольника считается устно, и равна

s = 12*14/2 = 84;  

в данном случае площадь легко считается и по формуле герона, но это не всегда так, и - кроме того - применение сложных формул увеличивает вероятность ошибки. а метод "пифагоровых троек" позволяет сосчитать площадь моментально, устно и безошибочно. 

стоит только помнить, что после получения ответа таким способом надо еще уметь получить его "стандартными" . если поискать среди моих - там есть более подробное изложение различных способов, которые надо прменять в таких случаях. формула герона вообще должна применяться только тогда, когда нет другого выхода.