Точка е - середина боковой стороны ав трапеции abcd. докажите, что площадь треугольника ecd равна половине площади трапеции.

Пусть м - середина cd, тогда ем - средняя линия. высота, проведенная из с на ем равна половине высоты всей трапеции, основание треугольника - средняя линия. значит его площадь равна 1/4 площади трапеции. аналогично и с треугольником emd. треугольник ecd состоит из двух треугольников: ecm и emd, поэтому его площадь равна 1/4 + 1/4 = 1/2 площади трапеции.

  биссектрисса делит угол на два равных угла по определению. перпендикуляр с биссектриссой делят треугольник на четыре части две из которых образуют два прямых треугольника с одной вершиной. достаточно доказать что эти два треугольника равны и будет доказано что их гипотенузы так же равны.но у них два одинаковых угла : первые образованы биссектрисой и по определению равны.вторые прямые ( по определению перпендикуляра)   и также равны между собой и равны 90 градусов.т.к. сумма углов в треугольнике равна 180 градусам ,то это значит и третьи углы в треугольниках равны. а следовательно и треугольники равны между собой.следовательно у них равные гипотенузы, как собственно и катеты.

Плоскость параллеограмма авсd пересекается с плоскостью альфа по прямой, соединяющей середины сторон ав и сd.  по условию  вк=мс;   вк||  мс. если две стороны четырехугольника равны и параллельны, этот четырехугольник - параллелограмм.   ⇒км  ||  вс через две параллельный прямые можно провести плоскость, притом только одну.так как вс не лежит в плоскости альфа, то аd, как сторона параллелограмма, равная и параллельная вс и лежащая   в плоскости авсd,   тоже не лежит в плоскости альфа, в противном случае через вс и аd можно было   бы провести плоскость, отличную от плоскости авсd.   вс  || км  ⇒  км  ||    аd. если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой  плоскости.  ad параллельна км  ⇒  параллельна плоскости  α, что и требовалось доказать.