Впрямоугольном треугольнике меньший катет равен 9 см и острый угол 60градусов. вычислите длину гипотенузы.

если из точки e опустить перпендикуляры на md - пусть основание перпендикуляра - точка p, и на mk (точнее, на продолжение за точку к, основание перпендикуляра точка q), то ep = eq, так как me - биссектриса. поэтому треугольники dep и keq равны. то есть kq = dp.

пусть mp = mq = х; dp = kq = y;

тогда md = x + y; mk = x - y;

(x + y)/(x - y) = 7;

отсюда y = x*3/4;

далее, x = me/√2; или 2x^2 = me^2;

и при этом

dk^2 = md^2 + mk^2 = (x+y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2) = 2x^2(1 + (3/4)^2) = 2x^2(25/16) =

=   me^2(25/16) = (me*5/4)^2;

dk = 5;

у этой есть слегка нестандартное решение. дело в том, что peqm - квадрат, то есть mp = pl = lk = mk, а lkq и dep - равные прямоугольные треугольники с отношением катетов 3/4, то есть египетские. то есть lk = ld = (5/4)mp, откуда сразу следует, что dk/me = 5/4 (два равнобедренных прямоугольных треугольника lpm и dlk, катеты относятся, как 5/4, так же относятся и гипотенузы).

в  правильной  4-хугольной  усеченной  пирамиде  верхнее  и  нижнее  основания

квадраты.      диагональ  нижнего  основания    будет  равнаv(10^2  +  10^2)  =  10v2(см).

аналогично  верхнего  основания  будет        2v2 cм

боковое  ребро  l      найдем  по  теореме    пифагора

l  =  v  (h^2  +  (m  -  n)^2),  где  h  =  4см,   m  =  10v2/2  =  5v2(см),

                                                                                                                                                          n    =  2v2/2  =  v2(см)

l  =    v(4^2  +  (5v2    -    v2)^2)    =    v(16  +    32)  =  v(16*3)  =  4v3 (см)