Радиус окружности равен 10. найдите длину медианы вписанного в нее правильного треугольника

в правильном треугольнике длины медианы, высоты, биссектрисы равны.выразим длину стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности: по теореме о вписанном угле окружности: угол между радиусами стягивающимиодну из сторон треугольника равен 120 градусам.по теореме косинусов найдем сторону треугольника:   a^2 = 2r^2-2r^2*cos(120) = 2r^2(1+1/2) = 3r^2  a = r*3^0.5    найдем медиану, помножив сторону треугольника на sin(60):     m = a*sin(60) = a*3^(0.5)/2 = r*3/2 = r*1.5  m = 10*1.5 = 15 - длина медианы.

Данные нам треугольники подобны по первому признаку подобия: " если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны". в равнобедренных треугольниках,  высоты и медианы равны, значит высота делит основание треугольника пополам.. найдем высоту первого треугольника по пифагору: √(15²-9²) = √144 =12. высота второго треугольника нам дана, коэффициент подобия треугольников равен отношению их высот: 12: 24 = 1: 2. следовательно, боковые стороны второго треугольника равны 15*2=30см, а основание равно 18*2=36см. периметр второго треугольника равен: 30+30+36=96см. ответ: периметр равен 36см.

Построим  треугольник , площадь которого равна площади трапеции. пусть авсд , ад ii  вс. из точки с проводим прямую , параллельно диагонали вд(вниз) до пересечения с продолжением ад  пусть это точка м. δасм имеет ту же высоту , что и  трапеция, это расстояние от точки с до стороны ад . обозначим эту высоту ск, а ам=ад+вс(вс=дм). очевидно, что площадь   δ асм = площади авсд s=ck·(ad+bc)\2 стороны δасм  - это ас=20 , см=вд=21,  ам=ад+вс=2·14,5=29. треугольник асд подобен египетскому , то есть , прямоугольный , и его площадь равна s=(20·21)/2=210 (кв . ед ) ответ : 210