Луч ao- биссектриса угла a. на сторонах угла а отмечены точки в и с так, что угол aob = углу aoc . докажите, что ав =ас

Рассмотрим ΔАСО и ΔАВО:  у них:
1)  ∠АОВ=∠АОС
2)   АО - общая сторона
3)  ∠САО=∠ВАО (т.к. АО биссектриса)
⇒ ΔАСО=ΔАВО по 2 признаку (по 2 углам и стороне)
⇒АВ=АС

Объяснение:Нехай ∆АВС - прямокутний (∟C = 90°), ZB = 30°, МК - серединний перпендикуляр до сторони АВ.

Доведемо, що МК = 1/3ВС.

Розглянемо ∟АВС (∟C = 90°).

Оскільки ∟B = 30°, то АС = 1/2АВ.

МК - серединний перпендикуляр до АВ, тобто ВМ = МА = 1/2АВ і МК ┴ АВ.

Так як АС = 1/2АВ i ВМ = 1/2АВ, то АС = ВМ = МА.

Проведемо АК i розглянемо ∆АМК i ∆АСК:

1) ∟AMK = ∟АСК = 90° (за умовою);

2) АК - спільна;

3) AM = AC (iз попереднього).

Отже, ∆АМК = ∆АСК за катетом i гіпотенузою, тоді МК = КС.

Нехай МК = КС = х.

Розглянемо ∆ВМК (∟M = 90°): ∟B = 30°, тоді МК = -ВК,

ВК = 2 • МК = 2х. Так як т. А: належить відрізку ВС, то ВС = ВК + КС;

ВС = 2х + х = 3х; МК = х. Отже, МК = 1/3ВС.

а) 1) АВ = AD - по условию

2) AC - общая сторона

3) углы BAC=CAD

Следовательно, треугольники BAC и CAD равны по двум сторонам и углу между ними (по 1 признаку)

б) 1) AO=OC - по условию

2) BO= OD - по условию

3) углы AOB = COD - т.к. они вертикальные

Следовательно треуголбники AOB и COD равны по 1 признаку

в) 1) угол FAC = угол GBE по условиб

Угол DAC = 180 - FAC - т.к. углы DAC и FAC - смежные (сумма смежных углов равна 180)

Угол DBE = 180 - GBE - т.к углы DBE и GBE - смежные.

А т.к. углы FAC и GBE равны, то и углы DBE и DAC равны.

AD= DB, AC = BE - по условию

Следовательно, треугольники ACD и DBE равны по 1 признаку ( по двум сторонам и углу между ними)

г) 1) DC = AB - по условию

2) CB - общая сторона

3) углы ABC и DCB равны по условию

Следовательно треугольники CDB и ABC равны по 1 признаку