По стороне основания 2 и боковому ребру 3. найти объем правильной треугольной призмы

S п. п. = S б. п + 2S осн.
S осн = a квадрат корней из 3 делить на 4
Р осн. = 3а
S б. п. = 3а * b
Подставляем в первую формулу

В задачах, связанных с вписанной или описанной окружностью, радиус вписанной, как правило, отмечают r , а описанной - R
Следовательно, здесь дан радиус вписанной в правильный треугольник окружности. 
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 её высоты. 
Полная высота данного треугольника 
h=3,5*3=10,5 см
Площадь правильного треугольника находят по формуле
S=(а²√3):2 , где а - сторона треугольника.
Нет необходимости искать сторону треугольника.
Есть и другая формула, только через высоту h.
S=h²/√3
S=(10,5)²:√3=36,75√3 cм²
--
Т.к. h=3 r, данную выше формулу можно записать как 
S=(3r)²:√3
Результат будет тот же, 36,75 √3.

Отрезки на катетах от гипотенузы до точки касания тоже равны 5 и 12 см. Вторые отрезки, равные между собой, обозначим х.
Тогда один катет равен (5 + х) см, а второй - (12 + х) см.
По Пифагору (5 + 12)² = (5 + х)² + (12 + х)².
Раскрываем скобки:
289 = 25 + 10х + х² + 144 + 24х + х².
Получаем квадратное уравнение:
2х² + 34х - 120 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=34^2-4*2*(-120)=1156-4*2*(-120)=1156-8*(-120)=1156-(-8*120)=1156-(-960)=1156+960=2116;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√2116-34)/(2*2)=(46-34)/(2*2)=12/(2*2)=12/4=3;
x_2=(-√2116-34)/(2*2)=(-46-34)/(2*2)=-80/(2*2)=-80/4=-20.
Отрицательный корень отбрасываем.
Тогда катеты равны 5 + 3 = 8 см и 12 + 3 = 15 см.
S = (1/2)*8*15 = 60 см².