Точка перетину діагоналей трапеції ділить одну з них у відношенні 6 : 11 знайдіть середню лінію трапеції, якщо різниця основ трапеції дорівнює 35 см.

АВСД - трапеция, диагонали пересекаются в точке О. СО:АО=6:11.
Тр-ки АОД и ВОС подобны т.к. ∠АОД=∠ВОС, ∠АСВ=∠САД как накрест лежащие при параллельных АД и ВС и секущей АС. СО:АО=ВС=АД=6:11.
Пусть одна часть о отношении равна х, тогда ВС=4х, АД=11х.
АД-ВС=11х-6х=5х=35 см ⇒ х=35/5=7 см.
Средняя линия:  m=(АД+ВС)/2=(11х+6х)/2=8.5х,
m=8.5·7=59.5 см - это ответ.

Проведем высоту DH грани ACD. Через т.М  проведем прямую  KN  параллельно  DН. Через точку N  проведем прямою РТ параллельно АС. Точки Р,К и Т соединим. РТ  КР и КТ - стороны получившегося в сечении треугольника, которые лежат в гранях тетраэдра. 

В плоскости АDC пересекающиеся прямые АС и DH параллельны пересекающимся прямым РТ и КN  - плоскости КТР.  

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 

Нужное сечение построено. 

Если действительно надо найти ВЕ, то зная, что АЕ - медиана, которая по определению делит сторону ВС пополам, имеем:ВЕ=ЕС=28,5см. Это ответ.
Но для чего нам даны стороны АВ и АС?

Скорее всего, в задаче требовалось найти медиану АЕ.
Тогда, зная, что медиана делит треугольник на два РАВНОВЕЛИКИХ, мы можем найти медиану АЕ через равенство площадей треугольников АВЕ и АСЕ, которые находим по формуле Герона: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].
В нашем случае, для треугольника АВЕ полупериметр равен р=(78,2+АЕ)/2.
Для треугольника АСЕ полупериметр равен р=(68,7+АЕ)/2.
Тогда, освободившись от корня, имеем:
Sabe²=((78,2+АЕ)/2)*((78,2-АЕ)/2)*((АЕ-21,2)/2)((АЕ+21,2)/2)=
(78,2²-АЕ²)*(АЕ²-21,2²)/16.
Sace²=((68,7+АЕ)/2)*((68,7-АЕ)/2)*((АЕ-11,7)/2)((АЕ+11,7)/2)=
(68,7²-АЕ²)*(АЕ²-11,7²)/16.
Sabe²=Sace². Пусть АЕ²=х. тогда
(78,2²-х)*(х-21,2²)=(68,7²-х)*(х-11,7²)
Дальше сплошная арифметика:
78,2²х-х²-78,2²*21,2²+21,2²х=68,7²х-х²-68,7²*11,7²+11,7²х.
х(78,2²+21,2²-68,7²-11,7²)=78,2²*21,2²-68,7²*11,7².
х(9,5*146,9+9,5*32,9)=1657,84²-803,79².
1708,1*х=854,05*2461,63. Отсюда х=1230,815.
Тогда АЕ=√1230,815≈35,08
ответ: медиана АЕ≈35,1.