Площадь треугольника равна 16 см2. найдите сторону треугольника, если высота , проведенная к этой стороне равна 8.

Вот, надеюсь я вам

1. Угол ВОХ - 45 градусов (точки луча АВ имеют одинаковые координаты, а тангенс угла наклона луча равен ординате, деленной на абсциссу, то есть 1).

2. Решается В СМЫСЛЕ, что находим третий угол и длины сторон.

Третий угол = 180-45-60 = 75 градусов.

Дальше по теореме синусов: BC = корень(3);

CD/sin(45) = BD/sin(75) = BC/sin(60); (то есть равно 2 :), так как sin(60) = корень(3)/2)

Отсюда 

СD = корень(2);

BD = 2*sin(75);

{На этом в принципе можно и остановиться, но можно вычислить синус 75 градусов

sin(75) = sin(90-15) = cos(15) = x; sin(15) = корень(1- x^2); 2*sin(15)*cos(15) = sin(30) = 1/2; 2*x*корень(1-x^2) = 1/2; 

Отсюда x^2*(1-x^2) = 1/8; что легко привести к виду 4*x^4-4*x^2+1 = 1/2;

То есть (2*x^2 - 1)^2 = 1/2;

Отсюда x = (1/2)*корень(2+корень(2)); BD = 2*x}

3. cos A = (AB,AC) / AB*AC (БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ, имеется ввиду скалярное произведение векторов АВ и АС, деленное на МОДУЛИ, то есть длины этих векторов). 

Вектор АВ = (0-3;6-9) = (-3;-3);

Вектор АС = (4-3;2-9) = (1;-7);

Скалярное произведение (АВ,АС) = (-3)*1 + (-3)*(-7) = 18;

длина AB = корень(3^2+3^2) = корень(18);

длина АС = корень(1^2+7^2) = корень(50);

cos A = 18/корень(18*50) = 3/4

 

Проведём через центр шара плоскость перпендикулярную плоскости треугольника . В сечении получим окружность радиуса R. Где R- радиус шара. След плоскости треугольника  проецируется как хорда этой окружности. Причём её длина=2R1. Где R1 -радиус описанной вокруг треугольника окружности(по условию). Радиус описанной окружности треугольника можно найти по формуле R1=A/2* sin a. Где А=16 сторона треугольника, а-противолежащий угол. Тогда R1=16/2*sin150=16/2*0,5 =16. Вернёмся к проекции на перпендикулярную плоскость.  Проведём Н=12 от центра до плоскости треугольника(в проекции до хорды), проведё радиус в точку касания хорды с окружностью R. Также имеем, что половина хорды=R1. Тогда в прямоугольном треугольнике образованном Н, R1 и R гипотенуза R= корень из (Н квадрат+R1 квадрат)= корень из (144+256)=20.