Вычислите площадь прямоугольного треугольника , гипотенуза которого равна 4√13 см , один из катетов 10 см .

Обозначим буквами и получим треугольник АВС. АС (катет)= 12, ВС (гипотенуза)= 13, Найдем АВ по Теореме Пифагора:

АС2 = АВ2 + ВС2

122 = АВ2 + 132

144 = АВ2 + 169

АВ2 = 169 - 144

АВ2 = 25

АВ = ± √ 25 = ± 5, -5 не имеет значения в данной задаче, ⇒ АВ = 5.

S треуг = ½ a * h

В треугольнике АВС а (катет) = 12, h = 5.

S треуг = ½ * 12 * 5 = 30 см2 – площадь прямоугольного треугольника.

 

ответ: 30.

1) Пусть АВ – диаметр данной окружности, АС - хорда, АК - касательная.

  В треугольнике АВС угол С=90° ( опирается на диаметр). АВ=2r, AC=r√3 ⇒ sin B=AC:AB ⇒ sin B=r√3:2r=√3/2.

Вписанный угол АВС равен половине дуги, на которую опирается. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой (теорема) Следовательно, ∠КАС=∠АВС=arcsin √3/2 - это синус угла 60°.

                                  *  *  *

2) Задача - обратная первой.  Если угол КАС=60°, то вписанный угол АВС равен ему, т.е. ∠АВС=60°. Тогда хорда АС=АВ•sin60°=2r•√3/2=r√3

AA1 = 2√3
OA1 = (2√3)/3
OA1 = A1B = A1C
A1B = (2√3)/3
A1C = (2√3)/3

BC =A1B + A1C = 2*(2√3)/3 = (4√3)/3

AA1² = AC²+ A1C²

(2√3)² = AC² + ((2√3)/3)²

AC² = (2√3)² - ((2√3)/3)²
(2√3)² = 4*3 = 12
((2√3)/3)² = (2/√3)² = 4/3

AC² = 12 - 4/3 = 32/3

AC = √(32/3)

AC = AB1 + CB1
AB1 = CB1
AC = 2*CB1
CB1 = AC/2

BB1² = BC² + CB1²
BB1² = BC² + (AC/2)²

BB1² = ((4√3)/3)² + (√(32/3)/2)²
((4√3)/3)² = (4/√3)² = 16/3
(√(32/3)/2)² = (32/3)/4 = 8/3

BB1² = (16/3)² + (8/3)²=(2²*8²)/9+8²/9 =
= 8²(2²+1)/9 =8²*(5)/9

BB1 = √(8²*(5)/9) = (8*√5)/3
ответ : длина большей из этих медиан BB1 =  (8*√5)/3
смотри рисунок