Вправильной четырехугольной пирамиде mabcd тангенс угла наклона апофемы к плоскости основания равен √ 2. точка к лежит на стороне основания ab и делит ее в отношении 1: 5, считая от а. найдите угол между прямой km и плоскостью dmc.

Эта задача имеет 2 варианта решения:
 1) геометрический,
 2) векторный.

1) Из условия расположения точки К (точка К лежит на стороне основания AB и делит ее в отношении 1:5, считая от А) примем длину стороны основания, равной 6.
Высота пирамиды будет равна (6/2)*tgα = 3√2.
Апофема А равна √((3√2)²+3²) = √(18+9) = √27 = 3√3.
Находим длину отрезка КМ в плоскости грани АМВ:
КМ = √(((6/2)-1)²+А²) = √(4+27) = √31.
Надо найти проекцию КМ на плоскость ДМС.
Одна точка  - это точка М.
Вторая находится как точка пересечения плоскости ДМС перпендикуляром из точки К.
Для этого проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно ДС. В сечении имеем линию максимального наклона плоскости ДМС к плоскости основания.
По заданию этот угол равен arc tg √2 =  0,955317 радиан = 54,73561°.
Перпендикуляр пересекает плоскость  ДМС в точке Р.
КР = 6*sin α.
Синус находим через заданный тангенс:
sin α = tg α/(√(1+tg²α) = √2/(√1+2) = √2/√3.
Тогда КР = 6*(√2/√3) = 2√6.
Теперь надо найти положение точки Р.
Опустим перпендикуляр h из точки Р на основание пирамиды.
h = KP*sin(90-α) = KP*cos α.
cos α = √(1 - sin²α) = √(1 - (2/3)) = 1/√3.
h = РT = (2√6)*(1/√3) = 2√2. (Т - это проекция точки Р на основание).
КТ = √(КР² - h²) = √(24 - 8) = √16 = 4.
Проекция РМ на основание равна √(2²+1²) = √5.
По вертикали это разность высот точек М и Р: 3√2 - 2√2 = √2.
Отсюда длина РМ равна √(5+2) = √7.
Найдены длины сторон треугольника КРМ с искомым углом КМР:
РМ = √7, КМ = √31, РК = 2√6.
По теореме косинусов находим <КМР = φ:
cos φ = (7+31-24)/(2*√7*√31) = 14/29,46184 = 0,475191.
φ =  1,07561528 радиан = 61,6282156°.

  2) Решение по этому варианту дано в приложении.
Пирамиду располагаем в прямоугольной системе координат точкой Д - в начале, АД - по оси Ох, СД - по оси Оу.
А(6;0;0),В(6;6;0), С(0;6;0), Д(0;0;0), М(3;3;3√2), К(6;1;0) и Р(2;1;2√2).
По трём точкам находим уравнение плоскости ДМС, по двум - уравнение прямой КМ и затем угол между ними.

Великая война великой страны. великая отечественная война – боль и гордость народа, величайшая страница российской , и память о ней будет жить в веках. 22.06.1941 года в четыре часа утра без объявления войны, войска фашистской германии вероломно вторглись на территорию советского союза. бомбардировкам подверглись ближайшие к польско-советской границе города, в том числе и столица украины – киев. советские войска оказались не готовы отразить первые атаки противника, ведь партийное руководство во главе с и. в. сталиным было уверено в нерушимости мирного договора, заключенного с германией пактом молотова – риббентропа. концентрацию войск в районе границы было приказано считать провокацией, многие командиры частей были отпущены в отпуска, перевооружение армии еще не было завершено, в результате, первые дни войны принесли советскому союзу колоссальные потери, как живой силы, так и военной техники. несмотря на это, солдаты и офицеры оказывали отчаянное сопротивление, о чем свидетельствует пример героической брестской крепости, сражавшейся до последнего солдата, даже оказавшись глубоко в тылу противника. конец июня этого страшного года был сложным и для партийной элиты страны. не сразу после начала трагических событий, сталин нашел в себе силы, обратился с речью к народу. она начиналась обращением: «братья и сестры! » и несла в себе полную уверенность в правоте нашего дела и скорой победе над врагом. , идеологически выверенной была речь, к народу, уже несколько лет живущему в ужасе великих репрессий, но народ поверил вождю. правительство смогло мобилизоваться и показать пример величайших организационных возможностей. в кратчайшие сроки за урал были эвакуированы крупнейшие военные заводы, причем многие на ходу перестраивались из сугубо мирных предприятий. к станкам встали женщины и дети, рабочий день составлял двенадцать-четырнадцать часов, за опоздание на работу можно было лишиться свободы, но фронт получал необходимую технику и боеприпасы. в колхозах те же женщины и дети, применяя практически только ручной труд, давали рекордные урожаи, при этом все продукты уходили на фронт, сами практически голодали. командование войсками было поручено генералам новой военной элиты, величайшим из которых стал г. к. жуков, под его руководством были одержаны победы в важнейших битвах этой страшной войны. и первой победой стала победа в битве за москву в декабре 1941 года. в последующие четыре года было еще много кровопролитных сражений: сталинградская битва, битва на курской дуге, прорыв блокады ленинграда. людей в боях не жалели. в июле сорок второго года на фронтах были введены заградительные отряды, расстреливавшие покинувших поле боя, но не это определяло боевой дух армии. народ освобождал свою землю, и солдаты геройски бились за каждый ее клочок, за каждую высотку. в 1944 году была пересечена граница с польшей и начались бои за освобождение стран западной европы. только в конце войны в ней приняли участие войска стран-союзников: сша и великобритании, и их потери, конечно, не могут сравниться с потерями советского народа, потерявшим за четыре года более двадцати миллионов человек. 9.05.1945 года в берлине германское руководство признало свое полное поражение. прошло более семидесяти лет и теперь различными политическими силами предпринимаются титанические попытки переписать и лишить великий народ его великой победы, но это бессмысленное занятие. ведь нет ни одной российской семьи, где не было бы погибших на той войне, рассказы о них из поколения в поколение. и теперь уже внуки правнуки героев составляют бессмертный полк вместе со своими предками. бессмертный, как сама россия.

1) 2+7=9

360°:9=20° в одной части.

Значит дуга АМС имеет градусную меру 40°

Угол АОС - центральный угол, измеряется дугой на которую он опирается.

∠АОС=40° ⇒∠АВС=140° ( сумма углов четырехугольника равна 360° и углы ВАО и ВСО - прямые)

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, АВ=ВС

Треугольник АВС равнобедренный с углом 140° при вершине, значит углы при основании (180°-140°):2=20°

О т в е т. 20°; 140°; 20°

2) 4+5=9

360°:9=20° в одной части.

Значит дуга АМС имеет градусную меру 80°

Угол АОС - центральный угол, измеряется дугой на которую он опирается.

∠АОС=80° ⇒∠АВС=100° ( сумма углов четырехугольника равна 360° и углы ВАО и ВСО - прямые)

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, АВ=ВС

Треугольник АВС равнобедренный с углом 100° при вершине, значит углы при основании (180°-100°):2=40°

О т в е т. 40°; 100°; 40°