Две стороны треугольника равны 4^3 см и 8 см, а угол между ними – 30⁰. найдите третью сторону треугольника и его площадь.в треугольнике авс известно, что вс= см, ∠в=30°, ∠а=135°. найдите сторону ас треугольника.определите , остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.одна сторона треугольника на 6 см больше другой, а угол между ними 120°. найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна21 см.найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 18 см, 20 см и 34 см.две стороны треугольника 7 см и 9 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, - см. найдите неизвестную сторону треугольника.

Добро пожаловать в урок, где мы будем решать задачи, связанные с треугольниками. Давайте начнем с первого вопроса:

1. Две стороны треугольника равны 4^3 см и 8 см, а угол между ними – 30⁰. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов. Давайте обозначим стороны треугольника как a, b и c, а углы между ними как A, B и C соответственно.

Известные данные: a = 4^3 см, b = 8 см и C = 30⁰.

Согласно теореме косинусов, мы можем выразить третью сторону c следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

Подставим известные значения:

c^2 = (4^3)^2 + 8^2 - 2*4^3*8*cos(30⁰)

Рассчитаем это:

c^2 = 64^2 + 8^2 - 2*64*8*0.866
c^2 = 4096 + 64 - 1105.024
c^2 = 3054.976

Теперь найдем квадратный корень от c^2, чтобы найти сторону c:

c = √(3054.976)
c ≈ 55.26 см

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника, используя формулу для площади равнобедренного треугольника:

S = (1/4)*√(4a^2 - b^2)*b

S = (1/4)*√(4*(4^3)^2 - 8^2)*8
S = (1/4)*√(4*256 - 64)*8
S = (1/4)*√(1024 - 64)*8
S = (1/4)*√960*8
S = (1/4)*√7680
S ≈ 55.26 см^2

2. В треугольнике авс известно, что вс= см, ∠в=30°, ∠а=135°. Найдите сторону ас треугольника.

Для нахождения стороны ас треугольника нам понадобится теорема синусов. Данная теорема говорит нам, что отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла в треугольнике равно отношению длин двух других сторон к синусам противолежащих им углов.

В данной задаче у нас известны сторона ас и два угла. Давайте обозначим стороны треугольника как a, b и c, а углы – A, B и C соответственно.

Известные данные: угол В = 30°, угол A = 135°, c = см.

Мы можем записать соответствующую формулу для стороны ас:

sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

Подставим известные значения:

sin(135°)/a = sin(30°)/b = sin(C)/c

Чтобы найти сторону ас, мы можем воспользоваться соотношением:

a = (sin(135°)*c)/sin(C)

Давайте рассчитаем это:

a = (sin(135°)*c)/sin(C)
a = (1/√2)*c/sin(C)
a = c/(√2*sin(C))

3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.

Для определения типа треугольника по его сторонам нам понадобится использовать теорему Пифагора. Если сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату самой длинной стороны, то треугольник является прямоугольным.

Данная формула имеет следующий вид:

a^2 + b^2 = c^2

Подставим известные значения:

5^2 + 9^2 = 12^2

Рассчитаем это:

25 + 81 = 144

Так как левая часть равенства не равна правой, треугольник не является прямоугольным.

Если сумма квадратов двух более коротких сторон меньше квадрата самой длинной стороны, то треугольник является остроугольным.

В данном случае:

5^2 + 9^2 < 12^2

Рассчитаем это:

25 + 81 < 144

106 < 144

Треугольник является остроугольным.

4. Одна сторона треугольника на 6 см больше другой, а угол между ними 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 21 см.

Для нахождения периметра треугольника мы должны сложить все его стороны.

По условию мы знаем, что одна сторона треугольника на 6 см больше другой, так что давайте обозначим стороны как x и x + 6.

Также известно, что третья сторона равна 21 см.

Итак, периметр треугольника представляет собой сумму всех его сторон:

Периметр = x + (x + 6) + 21

Подставим известные значения:

Периметр = x + (x + 6) + 21
Периметр = 2x + 27

Теперь мы можем рассчитать периметр треугольника, заменив переменную х:

Периметр = 2*21 + 27
Периметр = 42 + 27
Периметр = 69 см

5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 18 см, 20 см и 34 см.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, нам понадобится использовать формулу для радиуса описанной окружности в треугольнике. Эта формула гласит, что радиус описанной окружности равен произведению длин всех сторон треугольника, деленному на два произведения полупериметра треугольника и разности полупериметра и каждой из его сторон.

Используя данную формулу, мы можем записать:

Радиус описанной окружности = (a*b*c)/(4*S)

где a, b, и c - длины сторон треугольника, а S - его площадь.

Используя формулу для площади треугольника:

S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

где p - полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле:

p = (a + b + c)/2

Давайте решим эту задачу:

a = 18 см, b = 20 см, c = 34 см

Сначала найдем полупериметр треугольника:

p = (18 + 20 + 34)/2
p = 72/2
p = 36 см

Теперь рассчитаем площадь треугольника:

S = √(36*(36-18)*(36-20)*(36-34))
S = √(36*18*16*2)
S = √(20736)
S = 144 см^2

Теперь найдем радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности = (18*20*34)/(4*144)
Радиус описанной окружности = 12240/576
Радиус описанной окружности ≈ 21.25 см

6. Две стороны треугольника 7 см и 9 см, а медиана, проведенная к третьей стороне - см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Для нахождения неизвестной стороны треугольника мы можем использовать формулу для медианы треугольника, которая говорит, что медиана делит третью сторону треугольника на две равные части.

В данном случае у нас есть две стороны треугольника - 7 см и 9 см, а медиана равна x.

Используя данную формулу, мы можем записать:

медиана^2 = (1/2)*(сторона1^2 + сторона2^2) - (1/4)*сторона3^2

Подставим известные значения:

x^2 = (1/2)*(7^2 + 9^2) - (1/4)*сторона3^2

x^2 = (1/2)*(49 + 81) - (1/4)*сторона3^2
x^2 = (1/2)*(130) - (1/4)*сторона3^2
x^2 = 65 - (1/4)*сторона3^2

Далее, сравним данную формулу с общей формулой для квадратичного уравнения a*x^2 + b*x + c = 0.

В данном случае a = -1/4, b = 0 и c = 65.

Для нахождения неизвестной стороны треугольника нам понадобится решить это уравнение. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac.

Подставим известные значения:

D = 0^2 - 4*(-1/4)*(65)
D = -4*(-1/4)*(65)
D = -4*(-65/4)
D = 65

Так как дискриминант D > 0, у нас есть два корня:

x1 = (-b + √D)/(2a)
x1 = 0 + √65/(2*(-1/4))
x1 = √65*(-4)/2
x1 = -2√65

x2 = (-b - √D)/(2a)
x2 = 0 - √65/(2*(-1/4))
x2 = -√65*(-4)/2
x2 = 2√65

Так как сторона треугольника не может быть отрицательной, то неизвестная сторона треугольника равна 2√65 см.