Вычисли второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если катет AK= 11 3 – √ дм и ∢ KAO= 30 °

Сначала найдем диагональ BD по Пифагору: BD=√(AB²+AD²)=√(15²+36²)=39.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу.
Треугольники АВD и АОВ подобны, из подобия имеем АВ/BD=AO/AD=ВО/АВ, отсюда
АО=15*36/39=180/13.
ВО=15*15/39=75/13.
Из подобия треугольников АОВ и ВСО имеем: ВС/AВ=ВO/АО, отсюда ВС=ВО*АВ/АО= 6,25.
В прямоугольном треугольнике СНD по Пифагору имеем:
СD=√(AB²+(AD-ВС)²)=√(15²+29,75²)≈33,32.
Из подобия треугольников ВОС и АОО имеем: ВС/AD=ВO/OD, отсюда OD=ВО*АD/BC= 432/13.
Значит диагонали делятся в отношении
ВО/OD=(75/13)/(432/13)=75/432=25/144.
ответ: диагонали делятся в отношении 25/144, ВС=6,25 СD=≈33,32.

P.S. За "кошмарные" числа ответственность на составителе задачи.

Решение.

1. Найти косинус наименьшего угла треугольника. Это угол С.

Напротив наименьшей стороны лежит наименьший угол. Значит, напротив угла С лежит сторона АВ=4.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника АВС:

АВ²= ВС²+АС²–2×ВС×АС×cos∠C;

4²= 5²+7²–2×5×7×cos∠C;

16= 25+49–70cos∠C;

70cos∠C= 25+49–16;

70cos∠C= 58;

cos∠C= 58/70, это приблизительно, если округлить до тысячных равно 0,829.

Записываем в ответ:

cos∠C= 0,829.

2. Если воспользоваться калькулятором и посчитать значение угла С, а потом округлить его до целых, то выйдет ∠С=34°.