35. В треугольнике ABC угол С= 90°, AC = 12 см, CB = 5 см, точки Ми N— середины сторон AB и AC соответственно. Найдите дли- ны векторов: а) АВ; б) СМ ; в) MN.

Решение:
а) найдём АВ по теореме Пифагора: АС^2+СВ^2=АВ^2
144+25=169, 169=13^2
АВ=13
б) так как М середина АС, значит СМ=1/2АС
СМ=6
в)МN- средняя линия, т.к. М и N середины отрезков АС И АВ
МN=1/2CB
MN=2,5

ответ: а)16; б)6; в)2,5

Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1.
Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:
1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.
2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.
3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1.
Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим треугольник ADC (AB=BC=CA) ; dH - апофема
тк пирамида правильная,все ее грани и основание равные треугольники
тр.ABC=тр.ADB=тр.BDC=тр.CDA,из этого следует что высоты этих треугольников будут равны(DH=BH)
рассмотрим треугольник основание ABC(правильный) тогда диагонали треугольника будут пересекаться в точке о,и делиться пополам
BO=OH=DH\2= 2.
DO- искомая высота.
рассмотрим треугольник DOH(, DH- наклоная, OH- проекция) он пряиоугольный. тогда по т Пифагора 
DO^2=DH^2 - OH^2
DO^2=16-4
DO=2 кв.корня из 3