6) Кут ромба дорівнює 60° (мал. 57), а йогосторона — 13 см. Знайдіть меншу діагональ ромба.​

А) Периметр треугольника AMN равен АМ+AN+MN. Центр вписанной окружности О лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника АВС. Следовательно, треугольник ОМВ  равнобедренный, так как <MOB=<OBC (как накрест лежащие при параллельных прямых
MN и ВС и секущей ОВ), а <MBO=<OBC (так как ОВ - биссектриса угла В треугольника АВС). Отсюда МВ=МО.  Точно так же в треугольнике NOC имеем ON=NC. MN = MO+ON или MN=MB+NC. AB=AM+MB, AC=AN+NC. Тогда периметр треугольника AMN равен
АМ+AN+NO+OM = АМ+AN+NC+MB = АВ+АС, что и требовалось доказать.

б) Из прямоугольного треугольника АОР (радиус в точку касания перпендикулярен касательной) имеем: АР=√(AO²-OP²)=√(16r²-r²) = r√15. Тогда по свойству: "Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 = p-c", где  с- сторона, лежащая против угла С, имеем: АВ+АС-ВС = 2r√15  (1).
С другой стороны по формуле площади треугольника имеем: Sabc=p*r, где р - полупериметр треугольника АВС. Отсюда r=S/p = 2√15/(AB+AC+BC). (2)
Подставляем (2) в (1): АВ+АС-ВС = 2*(2√15/(AB+AC+BC))*√15. ВС=2, тогда 
АВ+АС-2 = 2*(2√15/(AB+AC+2))*√15.  Или (АВ+АС-2 )*(AB+AC+2)=4*15. Или  (АВ+АС)²-4=4*15, отсюда
(АВ+АС)=√(4(1+15))=8.Но выше мы доказали, что АВ+АС - это периметр треугольника AMN.
ответ: Pamn=8.

А) Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.
Угол АСР - развернутый и равен 180°.  ОС и О1С - биссектрисы углов АСВ и РСВ, так как это отрезки, соединяющие центры окружностей и точку С, из которой проведены
касательные к окружностям. Следовательно, <OCB+<O1CB=90°. Точно так же
<OBC+<O1BC=90°. Значит сумма противоположных углов четырехугольника ВОСО1 равна 180° и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Радиус вписанной в треугольник окружности равен r= S/p = √[(p-a)(p-b)(p-c)]/√p,
где р - полупериметр треугольника. В нашем случае радиус ОM=√[6*4*2/12]=2.
Тогда площадь треугольника АВС равна r*p=24, а площадь треугольника ОВС=(1/2)*ОМ*ВС=8.
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b, вычисляется по формуле:
Rвн=S/(p-b), где S- площадь треугольника. В нашем случае Rвн=24/(12-8)=6. Тогда
площадь треугольника О1ВС=(1/2)*О1N*BC=(1/2)*6*8=24. Площадь четырехугольника ВОСО1 равна сумме площадей треугольников ОВС и О1ВС. Sboco1=8+24=32.

Четырехугольник NOMO1 - трапеция с основаниями ОM и O1N (так как ОM и О1N
перпендикулярны ВС, а значит параллельны) и высотой MN (MN перпендикуляр к ОM и О1N).  ОМ=2, О1N=6. Найдем MN.
Есть свойство: Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из
противоположной вершины, равна полупериметру треугольника. То есть АР=р=12.
Тогда СР=АР-АС=12-6=6. NC=CP=6 как касательные из одной точки. МС=р-АВ (по свойству отрезка стороны от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью). В нашем случае МС=12-10=2. Тогда MN=NC-МC=6-2=4.
Площадь трапеции NOMO1=(1/2)*(OM+O1N)*MN=(1/2)*(2+6)*4=16.
ответ: Sboco1=32, SMONO1=16.