1. Дан ΔАВС. АА1∩ВВ1∩СС1 = F, A1B1║AB, A1C1║AC, B1C1║BC, ∠BAC = 300, ∠ABC = 800. Найдите угол между прямыми: а) АВ и В1С1; б) А1С1 и ВС. 2. ABCD – прямоугольник. ∠AOB = 600, AA1║BB1║CC1║DD1. Найдите угол между прямыми: а) А1В1 и АС; б) АВ и А1D1.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о параллельных линиях, свойствах углов и треугольников. 1. а) Найдем угол между прямыми АВ и В1С1. Из условия задачи известно, что A1B1║AB и B1C1║BC. Значит, угол C1B1A1 равен углу BAC (они соответственны). Также из условия известно, что A1C1║AC, поэтому угол A1C1B1 равен углу ABC (опять же, они соответственные). Итак, имеем: ∠C1B1A1 = ∠BAC и ∠A1C1B1 = ∠ABC. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Поэтому: ∠ABV = ∠C1BV + ∠C1BA + ∠ABV и ∠BV1С1 = ∠A1С1B1 + ∠A1С1B + ∠BV1C1 (Здесь символ "+" означает сумму углов). Составляем уравнения с углами: ∠ABV = ∠C1BV + ∠C1BA + ∠ABV ∠BV1С1 = ∠A1С1B1 + ∠A1С1B + ∠BV1C1 Заметим, что ∠C1BV = ∠A1С1B1 и ∠C1BA = ∠A1С1B (они соответственные). Подставляем эти значения в уравнения: ∠ABV = ∠A1С1B1 + ∠A1С1B + ∠ABV ∠BV1С1 = ∠A1С1B1 + ∠A1С1B + ∠BV1C1 Сокращаем ∠ABV с обеих сторон в первом уравнении и ∠BV1C1 с обеих сторон во втором уравнении: 0 = ∠A1С1B1 + ∠A1С1B 0 = ∠A1С1B1 + ∠A1С1B Теперь выразим угол между прямыми АВ и В1С1: ∠A1С1B1 = -∠A1С1B Таким образом, угол между прямыми АВ и В1С1 равен углу A1С1B. б) Найдем угол между прямыми А1С1 и ВС. Из условия задачи известно, что A1C1║AC и B1C1║BC. Значит, угол C1A1B1 равен углу ABC (они соответственны). Также из условия известно, что B1C1║BC, поэтому угол B1C1A1 равен углу BAC (опять же, они соответственные). Итак, имеем: ∠C1A1B1 = ∠ABC и ∠B1C1A1 = ∠BAC. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Поэтому: ∠A1С1B1 = ∠BC1A1 + ∠BC1B + ∠A1С1B1 и ∠С1A1В1 = ∠ABВ1 + ∠ABA1 + ∠С1A1В1 (Здесь символ "+" означает сумму углов). Составляем уравнения с углами: ∠A1С1B1 = ∠BC1A1 + ∠BC1B + ∠A1С1B1 ∠С1A1В1 = ∠ABВ1 + ∠ABA1 + ∠С1A1В1 Заметим, что ∠A1С1B1 = ∠BC1A1 и ∠BC1B = ∠ABВ1 (они соответственные). Подставляем эти значения в уравнения: ∠A1С1B1 = ∠A1С1B1 + ∠A1С1B1 ∠С1A1В1 = ∠A1С1B1 + ∠A1С1B1 Сокращаем ∠A1С1B1 с обеих сторон в обоих уравнениях: 0 = 0 Таким образом, угол между прямыми А1С1 и ВС равен 0 градусам. 2. а) Найдем угол между прямыми А1В1 и АС. Из условия задачи известно, что AA1║BB1║CC1║DD1, значит, угол ВВ1С = ∠B1AA1 (внутренний признак параллельности). Также известно, что треугольник ABCD – прямоугольник, и ∠AOB = 60 градусов, поэтому угол ВВ1С = ∠A (катеты прямоугольных треугольников ABV и СВ1С равны). Итак, имеем: ∠ВВ1С = ∠B1AA1 = ∠A. Таким образом, угол между прямыми А1В1 и АС равен ∠A. б) Найдем угол между прямыми АВ и А1D1. Из условия задачи известно, что ∠AOB = 60 градусов и AA1║BB1║CC1║DD1 (катеты прямоугольных треугольников ABV и DD1V равны). Также известно, что ∠A1В1 = ∠D1В (катеты прямоугольных треугольников A1BV1 и D1BV равны). Итак, имеем: ∠A1В1 = ∠D1В и ∠A = ∠D1А. Таким образом, угол между прямыми АВ и А1D1 равен ∠A.