20 . з точки m, що лежить поза колом, проведено дві дотичні. відстань від точки m до центра кола удвічі більша за радіус кола. знайдіть кут між дотичними.

81√3 ед²

Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, ∠Т=60°,  КР⊥РТ;  КТ=12√3. Найти S(КМРТ).

Рассмотрим ΔКРТ - прямоугольный;  ∠РКТ=90-60=30°, значит, РТ=0,5КТ=6√3 по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.

Проведем высоту РН и рассмотрим ΔРТН - прямоугольный;

∠ТРН=90-60=30°, значит, ТН=0,5РТ=3√3.

Найдем РН по теореме Пифагора:

РН²=РТ²-ТН²=108-27=81;  РН=9.

Найдем МР.  ∠МРК=∠РКН=30° как внутренние накрест лежащие при МР║КТ и секущей КР;  ∠МКР=60-30=30°, значит, ΔКМР - равнобедренный, МР=КМ=6√3.

S(КМРТ)=(МР+КТ)/2 * РН = (6√3+12√3)/2 * 9=(9√3)*9=81√3 ед²

по теореме косинусов выразить диагонали и сложить и использовать свойства углов при паралельных прямых  дальше через формулу кос(альфа)=-кос(180-альфа)  при сложении 1 слагаемое уйдёт

сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:   пусть а — длина стороны ab, b — длина стороны bc, d1 и d2 — длины диагоналей; тогда  d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).  доказательства [скрыть]  проведя диагональ bd, мы получим два треугольника: abd и bcd, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне bd равны как накрест лежащие при параллельных прямых ab | | cd, bc | | ad, где bd - секущая. из равенства треугольников следует: | ab | = | cd | , | ad | = | bc | и ∠a = ∠с противоположные углы ∠b и ∠d также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.  наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠a и ∠d, в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.  по теореме косинусов: d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle a. поскольку \cos\angle d = -\cos\angle a, то d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\angle a. складывая полученные равенства: d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).