5m²+10mn+5n²÷15m²-15n² сократить дробь

5m²+10mn+5n²/15m²-15n²= 5(m²+2mn+n)²/15(m²-n²)=5(m+n)²/15(m+n)(m-n)=(m+n)/3(m-n)

Пусть масса раствора была равна а кг, а концентрация -   х% , то есть в долях - это х/100 . можно найти количество соли в исходном растворе: её там будет содержаться   а·х/100 кг. после испарения 2 кг воды, масса раствора стала равна (а-2) кг,  а соли там осталось столько же, то есть (а·х/100) кг. но, если вычислить массу соли с учётом того, что концентрация соли возрасла на 0,2 (на 20%), то есть стала равной      , то соли в растворе   будет       .   получим равенство: после того, как к раствору добавили 10 кг воды, масса раствора стала равна   а-2+10=а+8   кг .   масса же соли всё равно не изменилась.  подсчитаем массу соли в новом (разбавленном) растворе, учитывая, что концентрация раствора стала вдвое меньше первоначальной, то есть концентрация равна х/2 %   или   в долях   - это равно   х/2: 100=х/200 .  итак, масса соли равна       . получим второе уравнение: масса первоначального  раствора равна   8 кг , а первоначальная  концентрация равна 

Доказательство методом индукции база индукции при n=1 утверждение верно, так: кратно 4. гипотеза индукции. предположим что при n=k є n утверждение верно, т.е. справедливо что кратно 4 индукционный переход. докажем, что тогда утверждение справедливо n=k+1 т.е. что кратно 4 кратно 4, так как (3^k+2k-1) кратно 4 по допущению, 2 кратно 2, всегда нечетное при любом k є n как произведение нечетных чисел (3 - нечетное число) - четное число как сумма двух нечетных чисел (1 - нечетное число) а значит кратно 2, а значит кратно 2*2=4 а значит   кратно 4 как сумма двух чисел кратных 4, что значит что кратно 4 согласно принципу индукции утверждение верно. доказано ================= второй способ. по остаткам если n- четное, n=2l для какого-то l є n, то , а значит будет давать в остатке такой же остаток как и произведение остатков от деления 9 на 4, т.е. 1 2*n=2*2l=4l кратно 4, остаток 4 а значит остаток от деления 3^n+2n-1 будет равен 1+0-1=0, т.е. выражение будет кратно 4 при четном n если n-нечетное, n=2l+1, l є n или l=0, то  а значит даст остаток при делении на 4: 1*3=3 а значит даст остаток 1 при делении на 4 а значит даст остаток такой же как 3+1=4 т.е. даст остаток 0, а значит кратно 4. таким образом утверждение справедливо при любых n є n доказано.