5. решите с систем линейных уравнений: петя и дима собирают марки. если петя отдаст диме 10 своих марок, то у мальчиков марок станет поровну. если же петя отдаст диме 50 марок, то у него останется в 5 раз меньше марок, чем станет у димы. сколько марок в коллекции у каждого мальчика?

Пусть у Пети х марок, у Димы у марок. Тогда
х - 10 = у
5(х - 50) = у

х - 10 = 5(х - 50)
х-10=5х-250
4х=240
х=60 марок у Пети
60-10=50 марок у Димы

объяснение:

выражение ( а - 6 ) * ( а + 2 ) - ( а + 5 ) * ( а - 7 ) и найдем значение выражения при а = - 6,5.  

раскрываем скобки. для этого каждые значения в первой скобке, умножаем на каждое значение во второй скобке, и складываем их в соответствии с их знаками. тогда получаем:  

( а - 6 ) * ( а + 2 ) - ( а + 5 ) * ( а - 7 ) = a ^ 2 + 2 * a - 6 * a - 6 * 2 - ( a ^ 2 - 7 * a + 5 * a - 5 * 7 ) = a ^ 2 + 2 * a - 6 * a - 12 - ( a ^ 2 - 7 * a + 5 * a - 35 ) = a ^ 2 - 4 * a - 12 - ( a ^ 2 - 2 * a - 35 ) = a ^ 2 - 4 * a - 12 - a ^ 2 + 2 * a + 35 = - 4 * a - 12 + 2 * a + 35 = - 2 * a + 23 = - 2 * ( - 6.5 ) + 23 = 13 + 23 = 36.

Область определения логарифма lg(3x-x^2) ограничена числами A > 0  

То есть 3x-x^2 >0  

Это возможно только при 3x > x^2.  

В случае x >=3 последнее неравенство неверно, при x <=0 тоже.  

постройте по точкам кривую y= 3x-x^2 чтобы убедиться.  

3x-x^2 >0 верно только при 0< x <3 - это область определения функции,  

а область значений существует для этого непрерывного диапазона х.  

Надо вычислить минимальное и максимальное значения у, чтобы найти границы области значений для у. Приходится использовать понятие бесконечно малой величины о >0  

и бесконечно большой +oo.  

При x=0+o имеем y=lg(3x-x^2)= lg(3o-o^2)= lg(3o) = lg(o) = -oo  

При x=3-o имеем y=lg(3*(3-o)-(3-o)^2)= lg(9-3o-9+6o-o^2)= lg(3o-o^2) = lg(3o) = lg(o)= -oo  

Если взять производную функции и приравнять её к нулю, получим ситуацию, когда функция достигает максимума или минимума (касательная горизонтальна) .  

y ' = lg(3x-x^2) ' = (ln(10)) * ln(3x-x^2) )'= ln(10)*( ln(3x-x^2))'= ln(10)* (1/ (3x-x^2)) * (3x-x^2) ' =  

= ln(10)* 1/(3x-x^2) * (3-2x) =ln(10) * (3-2x) / (3x-x^2) .  

Когда же ln(10) * (3-2x) / (3x-x^2) = 0 ?  

при 3-2x=0, то есть при x=1,5 максимум достигается для у.  

Вычисляем максимум y =lg(3x-x^2)= lg(3*1,5 -1,5^2) =lg (2,25) =0,3522  

Область значений функции -оо < y < lg (2,25) =0,3522  

Пример 1  

y=x^3  

y ' = 3 x^2  

y '(-1) = 3 (-1)^2 = 3  

Пример 2  

y=x, y =0, x=2 S= (1/2)*x^2 =2  

y=x, y =0, x=4 S= (1/2)*x^2 =8  

Интеграл от функции y(x)-0 по dx равен (1/2)*x^2 здесь 0 это нижняя граница области,  

она постоянная.  

подставляя верхний предел x=x и нихний предел x=y=0 (при x=y)  

получим, что интеграл равен (1/2)*x^2, выраженный аналитически, формулой  

Подставляя два случая x получим численно две площади  

Пример3. Знайдіть довжину вектора а (-2;1;2)  

Корень квадратный из суммы квадратов проекций  

Корень ((-2)^2+1^1+2^2) =3