Утирикутнику abc бісектриси вd i ae кутів в і а перетинаються у точці о.обчисліть довжину сторони ас якщо ав=4 см, ао: ое=3: 2 та аd: dс=6: 7.

Втретий раз воспользуемся свойством биссектрисы. теперь относительно биссектрисы ae: ac/ab=ce/eb, тогда: ас=4*(2/(8/3))=24/8=3 см

Высоту основания h найдём из половины основания, прямоугольного треугольника со сторонами а=12 см гипотенуза, h и а/2=6 см катеты h²+6²=12² h²= 144-36=108 h=6√3 см точка пересечения медиан делит их в отношении 2 к 1 начиная от вершины угла, в равностороннем треугольнике это приводит к тому, что радиус описанной окружности равен двум третям высоты. r=2/3*6√3=4√3 см боковая сторона, радиус описанной окружности основания и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник. по пифагору 10²=(4√3)²+h² 100=16*3+h² h²=52 h=2√13 см площадь основания 1/2*12*6√3 = 36√3 см² объём 1/3*36√3*2√13 = 24√39 см³

обозначаем длину ao за x, получаем два прямоугольных треугольника aob и aod. в котором роль общего катета играет ao, гипотенузы (наклонные) известны, а ob и od могут быть найдены по теореме пифагора:

ob = корень(ab^2 - x^2) = корень(15*15-x*x)

od = корень(ad^2 - x^2) = корень(20*20-x*x)

их отношение известно, то есть можем составить уравнение

корень(15*15-x*x)/корень(20*20-x*x) = 9/16

попробуем преобразовать это уравнение и решить:

(1) возводим в квадрат обе стороны

(15*15-x*x)/(20*20-x*x) = (9*9)/(16*16)

умножаем на (20*20-x*x) и (16*16)

(16*16)*(15*15-x*x) = (9*9)*(20*20-x*x)

раскрываем скобки

16*16*15*15 - 16*16*x*x = 9*9*20*20 - 9*9*x*x

прибавляем к обеим сторонам 16*16*x*x - 9*9*20*20

16*16*15*15 - 9*9*20*20 = 16*16*x*x - 9*9*x*x

или

(16*16 - 9*9)*x*x = 16*16*15*15 - 9*9*20*20

окончательно:

x*x = (16*15 - 9*20)*(16*15 + 9*20)/(16-9)(16+9) = 25*9*16(4-3)*(4+3)/(7*25) = 9*16 = 144

или

x = 12 см - длина ao