Дано: тр-к авс угол в=30º ав=12 угол сад=60º найти: сд

1) ∠С=180-∠А-∠В=180-60-30=90°.
Катет АС лежит напротив угла в 30°, значит АС=АВ/2=12/2=6.
ВС=√(АВ²-АС²)=√(12²-6²)=√108=6√3.
СД=АС·ВС/АВ=6·6·√3/12=3√3 - это ответ.

Если задача выглядит так, как Вы написали в личном сообщении, то трешение выглядит так:
2) Пусть АД=х.
В тр-ке АСД СД=АД·tg60=x√3.
В тр-ке ВСД СД=ВД·tg30=(12+x)/√3.
х√3=(12+х)/√3,
3х=12+х,
х=6.
СД=х√3=6√3 - это ответ.

1. PABCD - правильная пирамида. PO_|_ (ABCD)
РА=10 см, РО=8 см, <POA=90°
ΔPOA. по теореме Пифагора: AO²=PA²-PO²
AO²=10²-8², AO²=36, AO =6 см.
ΔADC: AC=2AO, AC=12  см, AD=DC=a
по теореме Пифагора: AO²=AD²+CD²
12²=a²+a², 144=2a², a²=72, a=√72, a=6√2 см
ответ: сторона основания АВ=6√2 см

2. Sбок.пов. =(1/2)Pосн*h
h - апофему боковой грани правильной пирамиды найдем по теореме Пифагора из ΔАКР: PK_|_AB, AK=(1/2)AB, AK=3√2 см
PA²=AK²+PK², 10²=(3√2)²+PK², PK²=100-18, PK²=82, PK=√82 см
S=(1/2)*4*6√2*√82=12√164=12√(4*41)=24√41
S бок.=24√41 см²

Вспомним свойство основания высоты пирамиды:
Основание высоты пирамиды  совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням. 
И наоборот - если снование высоты пирамиды  совпадает с центром вписанной  в основание пирамиды окружности, то  справедливы приведенные выше условия. 
В данной задаче  основание высоты пирамиды совпадает с центром вписанной окружности. Следовательно, все апофемы равны. 
Подробное решение в приложении. 
----------
[email protected]