Две окружности с центрами в точках о¹, о² пересекаются в точках а и в. докажите, что прямая о¹ о² перпендикулярна прямой ав ​

трапеция авсд

основания: вс и ад

высота вн

из треугольника авн: ан = 3

угол а = 6

ав = 6вн = корень из (36 - 9) = 3 корней из 3о - центр описанной окружности. проведем из нее высоту травеции км (ок) 

ок = х

ом = 3 корней из 3 - хв треугольнике вко: ов = корень из (9 + x^2)в треугольнике аом: оа = корень из (36 + (3 корней из 3 - х)^2)ob = oa = rсоставим уравнение:

9 + x^2 = 36 + 27 - 6х* корень из 3 + x^26х* корень из 3 = 54х = 3 корней из 3

найдем искомое: r = корень из (9 + 27) = корень из 36 = 6

1) В ромбе ABCD точки F, P и M – середины сторон BC, CD, и AD соответственно. Найдите сумму длин диагоналей ромба, если АВ = 5 см, а периметр треугольника FPM равен 12 см.

————

      Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.  

     Так как точки F, P и M – середины сторон BC, CD  и AD,  отрезок FP — средняя линия ∆ BCD и равна половине диагонали ВD; МР - средняя линия ∆ АСD и равна половие диагонали АС.

FP║BD; MP║AC; a так как  АС⊥ВD, то FP⊥МР. ⇒ ∆ MFP – прямоугольный.

    Ромб - параллелограмм, все стороны ромба равны. Поэтому равны и их половины. BF=AM, ВF и АМ параллельны⇒

АВFM - параллелограмм, MF=AB=5 см.

Периметр ∆ MFP=5+FP+MP=12 (см) ⇒  FP+MP=12-5=7 (см)

Диагонали ромба вдвое больше катетов ∆ MFP, ⇒

          BD+AC=2•( FP+MP)=2•7=14 (см).

—————

2)  В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Точки M, F, K и  P – середины сторон АВ, BC, СD и DA соответственно. Докажите, что MK = FP.

     Точки M, F, K и  P – середины сторон четырехугольника ABCD,    поэтому являются средними линиями треугольников АВС, ВСD, АСD  и АВD. По свойству средней линии треугольника:

МР=FK  и параллельны BD, а MF=P и параллельны АС.

АС⊥BD , ⇒  соседние стороны четырехугольника PMFK , которые им параллельны, взаимно перпендикулярны.  PMFK - прямоугольник, МК и PF его диагонали. Диагонали прямоугольника равны. MK  и  FP – его диагонали. ⇒ MK = FP