Биссиктриса острого угла прямоугольного треугольника делит противоположный катет на отрезки 4 и 5 см найти перимитр треугольника

пусть а, в-катеты, с-гипотенуза.  а=4+5=9  по свойству биссектрисы: в/с=4/5  отсюда в=4/5с  составляем уравнение относительно с по теореме пифагора: с^2-(4/5с)^2=9^2  отсюда 9/25с^2=81  c^2=225  с=15  в=4/5*15=12  р=а+в+с=9+12+15=36

Решим через формулу площади треугольника: s=1/2 * a * h_a, где a - одна из сторон треугольника, h_a - высота, проведенная к ней. то есть, зная все стороны и все высоты, можно найти площадь тремя способами (три стороны). так вот, известно две стороны и высота, проведенная к первой стороне. обозначим первую сторону как a, вторую сторону как b, высоту, проведенную к первой стороне, как h_a, высоту, проведенную ко второй стороне, как h_b. с одной стороны, площадь равна s = 1/2 * a * h_a, с другой стороны, s = 1/2 * b * h_b. приравниваем эти выражения: 1/2 * a * h_a =  1/2 * b * h_bотсюда h_b = a * h_a / b. подставим значения, данные в условии: h_b = 16 * 1 / 2 = 8.

Элементарная, но хорошо сформулированная. не "какие-то" две вершины, а вершины той стороны, которой касаются обе упомянутые окружности (то есть - той, которая их общая внутренняя касательная). доказать это просто. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов, поэтому угол, под которым видна эта сторона из центра, равен 180° минус полусумма углов при этой стороне. центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов при этой стороне (и биссектрисы третьего внутреннего угла, но это тут не важно), то есть угол, под которым сторона видна из этой точки, равен просто полусумме внутренних углов (ну, 180° минус полусумма внешних, что и дает полусумму внутренних). то есть сумма этих углов равна 180°, что означает, что все четыре точки (два центра и концы стороны) лежат на одной окружности.