1) в треугольной пирамиде dabc даны векторы da=a, db=b, dc=c. найти вектр dm, если м-центр тяжести основания abc. 2) дан треугольник с вершинами a(0; -1; -1), b(2; 0; -3), d(-5; -5; 3 вычислить с векторов его площадь и высоту: cd

2) Дан треугольник с вершинами A(0;-1;-1), B(2;0;-3), D(-5;-5;3).
    Площадь треугольника равна половине векторного произведения                 двух векторов, выходящих из одной точки.
    Вектор АВ (2; 1; -2).
    Вектор АС (-5; -4; 4).
     Векторное произведение a × b =
    =  {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}=
    = ((4-8);(10-8); (-8-(-5))) = (-4; 2; -3).
    Модуль ахв = √((-4)²+2²+(-3)²) = √(16+4+9) = √29 ≈5,3851648.
    Площадь равна (а*в)/2 = 5,385165/2 =  2,6925825.
    
    Условие перпендикулярности векторов: 
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение
 xaxb + yayb + zazb= 0.
AB(2;1;-2).
СД(-2;2;-1).    2*(-2)+1*2+(-2)*(-1) = -4+2+2 = 0.
Но длина высоты равна удвоенной площади треугольника, делённой на сторону.
Для этого находим длину стороны АВ:
АВ = √(2²+1²+(-2)²) = √(4+1+4) = √9 = 3.
СД = 2S/AB = 2*2,6925825/3 =  1,7950549.

ΔАВС - равнобедренный,  АВ=ВС ,  вписанная окр. r=ОН=ОК=3 cм
ВН - высота ΔАВС  ⇒  ΔАВН - прямоугольный, ∠АНВ=90°,
ΔВОК - прямоугольный, т.к. ∠ВКО=90° (как радиус впис. окр., проведённый к стороне Δ).
ΔАВН ~ ΔВКО по двум углам, т.к. ∠АВН - общий, а ∠ВАН=∠ВОК=90°-∠АВН.
По теореме Пифагора ВО=√(ВК²+ОК²)=√(4²+3²)=5
⇒  ВН=ВО+ОН=ВО+r=5+3=8 (cм)
Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:
ВК:ВН=ОК:АН=ВО:АВ  ⇒  4:8=3:АН=5:АВ  ⇒  АН=6 , АВ=10.
АС=2*АН=2*6=12 , т.к. высота ВН явл. ещё и медианой.
tg∠ВАС=ВН/АН=8/6=4/3  ⇒  ∠ВАС=arctg4/3
Радиус описанной окружности найдём из формулы:  .
S=1/2*АС*ВН=1/2*12*8=48 (см²)
R=(10*10*12)/(4*48)=6,25 (см)

Пусть имеем трапецию АВСД.
Если центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит ее большему основанию, то это основание - диаметр описанной окружности.
Центр окружности - точка О - это середина основания АД, а точка пересечения диагоналей - точка К.

По заданию угол СКД = 80°.
По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, - он равен 90°.
Это угол АСД.
Тогда угол СДК = 90 - 80 = 10°.

Смежный угол АКД = 180° - 80° = 100°.
Треугольник АКД - равнобедренный, угол КДА = (180°-100°)/2 = 40°
Тогда углы при нижнем основании равны по 10° + 40° = 50°.
Углы при верхнем основании равны по 180° - 50° = 130°.