Решить)​(с решением)особенно на второе

Подобные задачи встречаются довольно часто, как по отдельности, так и пакетом. . 

1) Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведён перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8см, MN=12см. 

Вычислите: 

а) расстояние от точки D до прямой NP. 

б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскость квадрата. 

в )расстояние между прямыми OD и MN

Решение:. 

Вспомним, что диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и  точкой пересечения делятся пополам. 

а) Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенная перпендикулярно из точки к прямой.  Расстояние от D до прямой NP - наклонная DH, проведенная перпендикулярно NP.

По т.о 3-х перпендикулярах ОН⊥MP; DH ⊥NP⇒

ОН=КN=MN:2=6 см 

⊿ DOH  - египетский - это следует из отношения его катетов ОН:OD=3:4; его гипотенуза DH=10 см- это и есть искомое расстояние. (  можно проверить по т.Пифагора).

б) Расстояния от D до каждой из сторон  и  от ОD  до каждой из вершин квадрата соответственно равны, т.к. DO проецируется в центр основания, О - центр вписанной ( и описанной) окружности ⇒ ОК=ОH=6 см

∆ MDN- равнобедренный, его высота DK=DH=10 см

S (∆ MDN)=DK•KN=10•6=60 см²

Проекция ∆ MDN  на плоскость квадрата - это прямоугольный ∆ MON.  Его основание МN - общее с ∆ MDN, вершина D ∆ MDN проецируется в точку пересечения диагоналей, образующих прямой угол, ОM=ON как половины диагоналей квадрата.  

MN=12 см, высота ОК=6 см

S (∆ MON)=OK•MN:2=36 см²

в) 

DO и MN- скрещивающиеся прямые,  расстояние между ними определяется общим перпендикуляром ОК, а так как он равен половине длины стороны квадрата (см. выше), то это расстояние равно 6 см. 

––––––––––––

2) Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является квадрат, диагональ которого равна 12√2 дм. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна 8√3 дм. 

Вычислите градусную меру двугранного угла D1ABD

--------------------

Решение здесь  несложное и короткое, в отличие от пояснения. 

Сделаем рисунок. 

Двугранный угол, градусную меру которого нужно вычислить, составлен плоскостью ∆ D1АВ и плоскостью ∆ DАВ. Первый  лежит в плоскости диагонального сечения параллелепипеда, второй - в плоскости квадрата,  его основания.

Величина двугранного угла равна его линейному углу, который образован двумя лучами, проведенными в каждой из плоскостей перпендикулярно одной точке на линии их пересечения.

АD1⊥АВ,  АD⊥АВ⇒ искомый угол -  угол D1АD. 

Диагональ квадрата делит его на два равнобедренных  прямоугольных треугольника. АD=АВ, и ВD =12√2

АD можно найти 

а) по т.Пифагора; 

б) через синус (косинус) 45º  или 

просто вспомнить, что диагональ квадрата ( как и гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника) равна а√2, где а - сторона квадрата или катет равнобедренного прямоугольного треугольника. ⇒

АD=12

cos ∠DAD1=DA:AD1

cos ∠DAD1=12:8√3=(√3):2 - это косинус 30º - искомого угла. 

Обозначим пирамиду МАВСD. В её основании - квадрат. 

В правильной пирамиде высота проходит через центр основания. Для квадрата это точка пересечения диагоналей.  МО – высота пирамиды, МН –апофема. 

Формула площади квадрата:

 S=a²⇒ а=√36=6 см - сторона основания

Площадь боковой поверхности  равна сумме площадей боковых граней, которые в правильной пирамиде - равнобедренные треугольники и  равны. 

Площадь одной грани равна 48²4=12 см²

Площадь Δ АМВ=S=a•h:2 --

h=12:3=4 см 

Проведем через основание МО параллельно СВ прямую КН=СВ=6 см 

ОН=КН:2=3 см

Из прямоугольного ∆ МОН высота МО=√(MH²-OH²)=√(16-9)=√7